1、優(yōu)化方法簡(jiǎn)介
為了使某些目標(biāo)達(dá)到最好的結(jié)果,就要找出使此目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的有關(guān)因素(或變量)的某些值(通常稱為最優(yōu)點(diǎn)、最優(yōu)解或近似最優(yōu)解)。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上稱為最優(yōu)化問(wèn)題。
在工程設(shè)計(jì)、科學(xué)研究、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域中,可以提出下面一類非常廣泛的問(wèn)題,在約束
h1(X)=0 I=1, 2, 3,…… m (1)
g1(X)≥0 j=1, 2, 3,……p (2)
條件下,求函數(shù)f (X)的極小值。其中X∈En,式(1)稱為等式約束,式(2)稱為不等約束,f(X)秒為目標(biāo)函數(shù),這類問(wèn)題稱為非線性規(guī)劃問(wèn)題。一般的非線性規(guī)劃問(wèn)題也可以效地轉(zhuǎn)化成無(wú)約束規(guī)則問(wèn)題。
陶瓷坯釉配方所使用的原料種類較多,各種原料的礦物組成及化學(xué)組成也比較復(fù)雜。在配方計(jì)算中,要使坯或釉的化學(xué)組成或某些性能滿足預(yù)定要求,又要使某些原料的用量在一定的范圍以內(nèi),因此,這類計(jì)算基本上屬多變量的非線性規(guī)劃問(wèn)題。在釉配方計(jì)算中,如果只滿足某些性能要求,不限制各種原料的用量,則屬于無(wú)約束規(guī)則問(wèn)題。
求解無(wú)約束優(yōu)化和約束優(yōu)化的計(jì)算方法很多,本文選擇了復(fù)合形法、網(wǎng)格法(以上屬約束優(yōu)化)和單純形法(無(wú)約束優(yōu)化)。茲就其優(yōu)化原理簡(jiǎn)述如下:
(1)復(fù)合形法
本方法用于求解具有不等式約束的多變量(一般在20以內(nèi))的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。它是非線性約束的幾維設(shè)計(jì)空間內(nèi),取2n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成復(fù)形,然后對(duì)復(fù)形的各頂點(diǎn)函數(shù)值逐一進(jìn)行比較,不斷地丟掉最壞點(diǎn),代之以既能使目標(biāo)函數(shù)有所改善,又滿足約束條件的新點(diǎn),逐步調(diào)向最優(yōu)點(diǎn)。
(2)網(wǎng)格法
網(wǎng)格法又稱為連續(xù)變量法、等距離法,用于求解約束非線性規(guī)則問(wèn)題,即求多元函數(shù)的約束極小值。
網(wǎng)格法是一種直接法,對(duì)函數(shù)無(wú)特殊要求。網(wǎng)格法就是在估計(jì)的區(qū)域內(nèi)打網(wǎng)格,在網(wǎng)格點(diǎn)上求目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)之值。對(duì)滿足約束函數(shù)的點(diǎn),再比較其目標(biāo)函數(shù)值的大小,從中選擇小者,并把該網(wǎng)格點(diǎn)作為一次迭代的結(jié)果,然后在求出的點(diǎn)的附近將分點(diǎn)加密,再打網(wǎng)格,并重復(fù)前述計(jì)算與比較,直到網(wǎng)格的最大間距或目標(biāo)函數(shù)小于預(yù)定值時(shí),則終止計(jì)算。
(3)單純形法
本方法用于求幾元函數(shù)的無(wú)約束極小值。它是對(duì)幾維空間的n+1個(gè)點(diǎn)(它們構(gòu)成一個(gè)初始單純形)上的函數(shù)值進(jìn)行比較,去掉其中函數(shù)值最大的點(diǎn),代之以新的點(diǎn),從而構(gòu)成一個(gè)新的單純形,這樣,通過(guò)迭代逐步逼近極小點(diǎn)。
2、坯料配方優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型
在坯料配方的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,考慮到瓷坯的性能指標(biāo),工藝參數(shù)等受工藝過(guò)程的影響很大,而且不可能建立相關(guān)的表達(dá)式,因此,不能直接以其性能指標(biāo)作為優(yōu)化參數(shù),只能根據(jù)瓷坯化學(xué)組成與性能的關(guān)系,通過(guò)對(duì)瓷坯化學(xué)成分含量的控制,達(dá)到控制其性能指標(biāo)的目的。
(1)已知條件
a.使用原料的種類及各種原料的化學(xué)組成、物理的和化學(xué)的特性。
b.根據(jù)產(chǎn)品性能的要求而提出的配料中化學(xué)組成要求。例如,對(duì)于鋁質(zhì)電瓷,為提高其機(jī)械強(qiáng)度,Al2O3含量應(yīng)在40%以上,相應(yīng)地由此可確定礬土的大致加入量。
c.根據(jù)工藝要求確定主要影響工藝條件的原料(如粘土)的加入量范圍。
(2)數(shù)學(xué)模型
a.確定設(shè)計(jì)變量X(I),I=1,2,3……N
X(I)為各種原料加入量的百分?jǐn)?shù)(不含I .L),N為原料的種數(shù)。
b.各種約束
①化學(xué)組成要求
設(shè)瓷坯中對(duì)Fe2O3、MgO+CaO、TiO2的百分含量必須限制在一定范圍內(nèi),則可建立約束方程:
式中:Q(I,5)、Q(I,6)、Q(I,7)、Q(I,8)--分別為各種原料中MgO 、Fe2O3、CaO、TiO2的百分含量;
SS(5)、SS(6)、SS(7)、SS(8)--分別為瓷坯中上述四種氧化物的最大限制百分含量。
②工藝要求
根據(jù)工藝要求提出的各種原料的大致加入量,可建立邊界方程:
LX(I)≤X(I)≤HX(I)
式中:LX(I)--各原料加入量的下限;
HX(I)--各原料加入量的上限。
c.目標(biāo)函數(shù)
設(shè)為滿足瓷坯的性能要求,其化學(xué)組成中SiO2、Al2O3、K2O、Na2O要嚴(yán)加控制,由此可建立目標(biāo)函數(shù)。
式中:Q(I,1)、Q (I,2)、Q(I,3)、Q(I,4)--分別為各原料中SiO2、Al2O3、Na2O、K2O的百分含量;
SS(1)、SS(2)、SS(3)、SS(4)--分別為瓷坯要求上述四種氧化物百分含量。
3、釉料配方優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型
在釉料配方的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,考慮到釉具有玻璃體的性質(zhì),其主要性能可通過(guò)較明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式求得,因此可直接選取幾種較重要的釉性能作為優(yōu)化參數(shù),建立目標(biāo)函數(shù)。
(1)已知條件
使用原料的種類及各種原料的化學(xué)組成;主要的釉性能指標(biāo);用復(fù)合形法時(shí)提供釉的化學(xué)組成范圍或原料控制使用范圍。
(2)約束條件
用復(fù)合形法時(shí),設(shè)以釉的化學(xué)組成控制范圍作為約束條件,則約束方程為:
LFQ(I)≤FQ(I)≤HFQ(I)
式中:LFQ(I)――釉料中各化學(xué)組成的控制下限;
HFQ(I)――釉料中各化學(xué)組成的控制上限;
FQ(I)――各化學(xué)組成的計(jì)算機(jī)
(3)目標(biāo)函數(shù)
以某種電瓷釉為例,設(shè)選取釉的熔融溫度、熱膨脹系數(shù)、表面強(qiáng)力為優(yōu)化參數(shù),則建立目標(biāo)函數(shù)為:
minF=∣FM1-TM∣+(FM2-AL)2+∣FM3-S1G∣
式中:FM1、FM2、FM3――分別為熔融溫度、熱膨脹系數(shù)和表面張力的計(jì)算值;
TM、AL、S1G――分別為上述三個(gè)的控制值。
4、源程序說(shuō)明
本文分別以復(fù)合形法和網(wǎng)格法編制了坯料配方計(jì)算的計(jì)算機(jī)程序二套,以復(fù)合形法和單純形法編制了釉料配方計(jì)算的計(jì)算機(jī)程序二套,所有程序均使用FORTRAN語(yǔ)言,這些程序有以下特點(diǎn):
(1)采用模塊結(jié)構(gòu),易于編排和移植,且層次清楚,調(diào)節(jié)靈活。
(2)主要原始數(shù)據(jù)如原料的化學(xué)組成、坯或釉的化學(xué)組成控制范圍、釉性能的計(jì)算系數(shù)、和原料的控制用量的上下限等編入到數(shù)據(jù)文件中,調(diào)試程序或更換原始時(shí)都很方便。
(3)對(duì)于同一組原始數(shù)據(jù),當(dāng)輸入的初始點(diǎn)(第一頂點(diǎn)或網(wǎng)絡(luò)劃分?jǐn)?shù))數(shù)值不同時(shí),可以產(chǎn)生多組滿足要求的配料比,這對(duì)于進(jìn)一步確定試驗(yàn)方案、比較配料成本都是很有益的,手工計(jì)算時(shí)很難做一這一點(diǎn)。
5、坯料配方運(yùn)行實(shí)例
(1)各原料的化學(xué)組成見(jiàn)表1
(2)瓷坯要求的化學(xué)組成見(jiàn)表2
(3)原料使用控制范圍見(jiàn)表3
(4)計(jì)算結(jié)果
a.原料配比(含I.L時(shí))見(jiàn)表4
b.瓷坯化學(xué)組成(不含I.L時(shí))見(jiàn)表5
6、釉料配方運(yùn)行實(shí)例
(1)原料的化學(xué)組成見(jiàn)表6
(2)釉性能要求
熔融溫度:1280℃
熱膨脹系數(shù):55×10-71/℃
表面張力:370dyn/cm
(3)釉料化學(xué)組成控制范圍見(jiàn)表7
(4)計(jì)算結(jié)果
a.原料配比(含I.L時(shí))見(jiàn)表8
b.釉的化學(xué)組成(不含I.L時(shí))見(jiàn)表9
c.釉性能見(jiàn)表10
表1 各原料的化學(xué)組成
原料
代號(hào)
|
|
|
組成
|
SiO2
|
Al2O3
|
Na2O
|
K2O
|
MgO
|
CaO
|
Fe2O3
|
TiO2
|
%
|
38.0
|
55.0
|
4.50
|
1.50
|
<1.20
|
<2.0
|
表3 原料使用控制范圍
原料代號(hào)
|
用復(fù)合形法計(jì)算時(shí)
|
用網(wǎng)格法計(jì)算時(shí)
|
下限
|
上限
|
下限
|
上限
|
1
|
0.05
|
1
|
0.1
|
0.2
|
2
|
0.05
|
1
|
0.05
|
0.15
|
3
|
0.08
|
0.12
|
0.05
|
0.16
|
4
|
0.4
|
0.44
|
0.4
|
0.45
|
5
|
0
|
1
|
0.2
|
0.3
|
表4 原料配比
原料代號(hào)
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
用復(fù)合形法計(jì)算
|
1
|
9.81
|
15.27
|
11.73
|
39.80
|
23.50
|
2
|
20.15
|
5.54
|
10.18
|
39.64
|
24.54
|
用網(wǎng)格法計(jì)算
|
1
|
16.11
|
4.74
|
12.32
|
40.76
|
26.06
|
2
|
12.02
|
4.75
|
15.20
|
41.14
|
26.89
|
表5 瓷坯化學(xué)組成
組分
|
SiO2
|
Al2O3
|
Na2O
|
K2O
|
MgO
|
CaO
|
Fe2O3
|
TiO2
|
復(fù)合形法1
|
38.00
|
55.00
|
1.33
|
3.17
|
0.10
|
0.33
|
1.03
|
0.94
|
復(fù)合形法2
|
38.00
|
55.00
|
1.25
|
3.25
|
0.10
|
0.30
|
0.99
|
0.91
|
網(wǎng)格法1
|
37.99
|
55.18
|
1.24
|
3.20
|
0.09
|
0.34
|
1.01
|
0.97
|
網(wǎng)格法2
|
37.86
|
54.99
|
1.23
|
3.08
|
0.09
|
0.38
|
1.02
|
1.03
|
表6 原料的化學(xué)組成
原料
代號(hào)
|
SiO2
|
Al2O3
|
0Na2O
|
K2O
|
MgO
|
Fe2O3
|
CaO
|
Cr2O3
|
MnO2
|
I.L
|
1
|
98.20
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0.09
|
0
|
0
|
0
|
0
|
2
|
66.82
|
17.79
|
2.16
|
12.92
|
0.04
|
0.12
|
0.33
|
0
|
0
|
0.16
|
3
|
51.40
|
1.06
|
0.70
|
1.02
|
32.47
|
0.24
|
1.06
|
0
|
0
|
11.89
|
4
|
1.07
|
0.44
|
0.10
|
0.23
|
0
|
1.08
|
54.54
|
0
|
0
|
43.30
|
5
|
48.76
|
35.88
|
0
|
0.80
|
0.20
|
0.90
|
0.501
|
0
|
0
|
13.38
|
6
|
39.37
|
45.00
|
0
|
0
|
0
|
0.76
|
0.63
|
0
|
0
|
13.97
|
7
|
55.30
|
28.82
|
0.19
|
2.64
|
1.31
|
1.95
|
0.85
|
0
|
0
|
8.49
|
表7 釉料化學(xué)組成控制范圍
氧化物
|
SiO2
|
Al2O3
|
Na2O
|
K2O
|
MgO
|
Fe2O3
|
CaO
|
Cr2O3
|
MnO2
|
%
|
40-80
|
10-20
|
0.5-10
|
0-15
|
0.5-10
|
0-5
|
1-12
|
0-8
|
0-8
|
表8 原料配比
原料代號(hào)
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
用復(fù)合形法計(jì)算
|
27.58
|
26.54
|
8.84
|
13.10
|
7.00
|
1.50
|
15.44
|
用單純形法計(jì)算
|
30.66
|
29.80
|
9.85
|
13.06
|
2.76
|
11.80
|
2.08
|
表9 釉的化學(xué)組成
氧化物
|
SiO2
|
Al2O3
|
Na2O
|
K2O
|
MgO
|
Fe2O3
|
CaO
|
Cr2O3
|
MnO2
|
復(fù)法
|
68.12
|
13.91
|
0.74
|
4.39
|
3.43
|
0.66
|
8.37
|
0
|
0
|
單法
|
68.24
|
14.00
|
0.79
|
4.40
|
3.60
|
0.43
|
8.14
|
0
|
0
|
表10 釉性能
性能名稱
|
單位
|
用復(fù)合形法計(jì)算
|
用單純形法計(jì)算
|
熔融溫度
|
℃
|
1279.9
|
1280.0
|
熱膨脹系數(shù)
|
1/℃
|
55.19×10-7
|
55.0×10-7
|
表面張力
|
dyn/cm
|
370.0
|
370.0
|
彈性模量
|
kgf/mm2
|
7959.3
|
8007.4
|
抗張強(qiáng)度
|
kgf/mm2
|
8.59
|
8.45
|
抗壓強(qiáng)度
|
kgf/mm2
|
103.8
|
104.0
|
平均熱容
|
kCal/℃
|
0.3856
|
0.3865
|
導(dǎo)熱系數(shù)
|
Kcal/cm•s•℃
|
2.417×10-5
|
2.436×10-5
|
熱穩(wěn)定性系數(shù)
|
|
0.980
|
0.929
|
密度
|
g/cm3
|
2.495
|
2.490
|